Prawo Ohma i Kirchhoffa

Prawo Ohma i Kirchhoffa

Aby opisać rozmaite zjawiska fizyczne, zarówno te występujące naturalnie w przyrodzie, jak i w systemach stworzonych sztucznie, wówczas w celu ich zobrazowania, niezbędne jest użycie odpowiednich narzędzi matematycznych.

Między XVII a XIX wiekiem n.e, wielu uczonych poprzez długoletnią pracę badawczą w zakresie elektromagnetyzmu, opracowało fundamentalne prawa fizyki oraz aparat matematyczny, na którym opiera się elektrotechnika i nauki pokrewne, takie jak elektronika. Do naukowców, którzy odegrali na tym polu kluczowe role, należą Georg Simon Ohm oraz Robert Gustav Kirchhoff, którzy opracowali nazwane od ich nazwisk prawa elektrotechniki używane w analizie obwodów elektrycznych.

Celem stosowania praw Ohma i Kirchhoffa, jest wyznaczenie prądów i napięć w obwodach elektrycznych, przy czym w zależności od właściwości obiektu badanego, prawa te mogą wystąpić w różnych postaciach uwzględniających dodatkowe czynniki. Obszarem zastosowania praw Ohma i Kirchhoffa, mogą być zarówno układy elektroniczne pracujące na takich napięciach jak 3,3V, 5,0V czy 12,0V jak i domowe i przemysłowe instalacje elektryczne o napięciu 230/400V, a także elektrownie, linie i stacje elektroenergetyczne pracujące na napięciach takich jak 110000V i wyższych.

W niniejszym artykule przedstawimy podstawy fizyczne i matematyczne praw Ohma i Kirchhoffa oraz jak je zastosować w praktyce.

Wielkości fizyczne fundamentalne dla praw Ohma i Kirchhoffa

Aby zrozumieć podstawy analizy obwodów elektrycznych, niezbędna jest znajomość kilku wielkości fizycznych oraz ich oznaczeń i jednostek. Należą do nich:

• Prąd (oznaczany literą “I”) – jednostką jest 1A (Amper) – określa przepływ ładunku elektrycznego o wartości 1C (Kulomb) przepływającego przez określony punkt obwodu w czasie 1s (sekundy). Jest to opisane zależnością:

I =Q/t         (1.1)

gdzie:

I – prąd [A];

Q – ładunek elektryczny [C] – 1C  = 6,24 x 10¹⁸ ładunku elementarnego (elektronu);

t – czas [s];

• Napięcie (oznaczane literą “U”) – jednostką jest 1V (Wolt) – jest różnicą potencjałów na dwóch końcach obwodu, która określa pracę o wartości 1J (Dżula) potrzebną do przeniesienia 1C (Kulomba) z jednego do drugiego punktu obwodu elektrycznego, co jest wyrażane zależnością: 

U =V1 – V2 =W/Q           (1.2)

gdzie:

U  – napięcie [V];

V₁  – potencjał elektryczny na początku obwodu [V];

V₂  – potencjał elektryczny na początku obwodu [V];

Q – ładunek elektryczny [C] – 1C  = 6,24 x 10¹⁸ ładunku elementarnego (elektronu).

Wspomniana w powyższym wzorze różnica potencjałów V₁ i V₂ mówi, że przepływ prądu występuje od wyższego do niższego potencjału w obwodzie. W mechanice płynów, analogią do tego zjawiska jest przepływ wody z obszarów o wyższym ciśnieniu hydrostatycznym do obszarów o niższym ciśnieniu hydrostatycznym.

Prawo Ohma oraz jego sens matematyczny i fizyczny 

W 1827 roku, niemiecki fizyk i matematyk Georg Simon Ohm, sformułował prawo fizyczne opisujące relację między prądem elektrycznym a napięciem elektrycznym i jest znane jako prawo Ohma, które mówi, że w stałej temperaturze prąd płynący przez przewodnik o rezystancji idealnej, jest wprost proporcjonalny do napięcia odłożonego na rezystancji tego przewodnika. Przez rezystancję idealną, należy rozumieć taką, która nie zmienia swojej wartości wskutek zmiany wartości przepływającego przez nią prądu, a także wskutek zmiany napięcia na niej odłożonego. Z tego wynika, że charakterystyka prądowo-napięciowa rezystora idealnego (tj. pozbawionego pojemności i indukcyjności pasożytniczych) jest liniowa oraz, że rezystancja wg prawa Ohma, jest stałym współczynnikiem proporcjonalności między prądem a napięciem, co jest wyrażane zależnością:

R =U/I                 (2.1)

gdzie:

R – Rezystancja [Ω]

U – napięcie [V]

I – prąd [A]

Jednostką rezystancji jest 1Ω (Om) – gdy na zaciski rezystora o takiej wartości rezystancji podamy napięcie o wartości 1V, wówczas przez ten rezystor popłynie prąd wartości 1A. W zależności od poszukiwanej wielkości, powyższy wzór można przekształcić stosując proste przekształcenia algebraiczne.

Wyznaczanie mocy elektrycznej na podstawie prawa Ohma 

W wyniku przepływu prądu elektrycznego przez medium o określonej rezystancji, dochodzi do wydzielenia mocy na tym medium. Moc tą można łatwo obliczyć, wspomagając się prawem Ohma, z uwagi na to, że tak jak rezystancja, tak i moc elektryczna jest zależna od prądu i napięcia, zgodnie z poniższą zależnością:

P = UI           (3.1)

stosując podstawienie opierające na przekształceniu wzoru (2.1):

U = RI           (3.2)

wzór (3.1) przybiera postać:

P = RI²           (3.3)

Również wyznaczając prąd ze wzoru (2.1):

I = U/R           (3.4)

Podstawiając do wzoru (3.1) otrzymujemy postać:

P=U²/R          (3.5)

gdzie:

R – rezystancja [Ω];

U – napięcie [V];

I – prąd [A];

P – moc elektryczna [W];

Jednostką mocy elektrycznej czynnej jest 1W (Wat). Ponadto rozróżniana jest także moc elektryczna bierna, której jednostką jest 1VAr (Woltoamper reaktywny) oraz moc pozorna mierzona w woltoamperach (VA), która jest wielkością wiążącą moc czynną i bierną, przy czym te rodzaje mocy są używane w opisie matematycznym obwodów elektrycznych prądu zmiennego.

Prawo Ohma w obwodach elektrycznych prądu zmiennego z elementami zachowawczymi

Zależności matematyczne przedstawione dotychczas w niniejszym artykule, dotyczyły obwodów prądu stałego, które są zbudowane z elementów o charakterze czysto rezystancyjnym, przedstawianych w uproszczeniu jako wspomniane wcześniej rezystory idealne, które rozpraszają moc. W takich obwodach, ze względu na charakter rezystancyjny odbiorniki pobierają tylko moc czynną wg zależności (3.1). Jeśli weźmiemy pod uwagę prawo Ohma dla obwodów, w których źródła zasilania dostarczają napięcia o przebiegach zmiennych w czasie (np. przebiegi sinusoidalne, prostokątne, trójkątne) oraz w których poza elementami rezystancyjnymi występują elementy pojemnościowe zdolne do magazynowania energii w polu elektrycznym (zwykle reprezentowane jako kondensatory) i/lub elementy indukcyjne zdolne do magazynowania energii w polu magnetycznym (zwykle reprezentowane jako cewki), wówczas do opisu prawa Ohma dla takich obwodów należy użyć impedancji – wielkości zespolonej, która składa się z części rzeczywistej w postaci znanej nam już rezystancji oraz z części urojonej w postaci reaktancji:

Z=R+jX           (4.1)

gdzie:

Z – impedancja [Ω];

R – rezystancja [Ω];

X – reaktancja [Ω];

j – jednostka urojona: j² = -1

Reaktancja jest wielkością, która zależy od indukcyjności, pojemności oraz częstotliwości źródła napięcia zasilającego obwód:

X =XL-XC= ωL – 1/ωC       (4.2)

zaś związek między pulsacją kątową a częstotliwością wyraża się:

ω=2πf       (4.3)

gdzie:

X   – reaktancja [Ω];

X_L  – reaktancja indukcyjna [Ω];

X_C – reaktancja pojemnościowa  [Ω];

L   – indukcyjność [H];

C  – pojemność [F];

ω  – pulsacja kątowa [rad/s];

f    – częstotliwość [Hz].

Wówczas do wyrażenia prawa Ohma dla prądu zmiennego, również prądu i napięcia używa się jako wielkości zespolonych:

Z=U/I       (4.4)

Jeśli zachodzi warunek:

ωL =1/(ωC)                 (4.5)

Wówczas:

Z = R           (4.6)

Gdy w obwodach zawierających elementy rezystancyjne i reaktancyjne zostaje spełniony warunek (4.5), wówczas obwód pracuje w stanie rezonansu prądowego, w którym choć obwód ma charakter rezystancyjny, to między elementami reaktancyjnymi odbywa się wymiana energii pola elektrycznego i magnetycznego. Zjawisko to jest wykorzystywane m.in. w telekomunikacji w celu nawiązywania połączeń radiowych między dwoma urządzeniami. Natomiast w sieciach elektroenergetycznych, rezonans elektryczny jest zjawiskiem niepożądanym i może doprowadzić do uszkodzenia urządzeń elektroenergetycznych oraz zwiększenia błędów pomiarowych w pojemnościowych przekładnikach napięciowych do pomiarów rozliczeniowych i zabezpieczeń – aby temu zapobiec, stosuje się specjalne konstrukcje uzwojeń, a w układach kompensacji mocy biernej stosuje się filtry antyrezonansowe w postaci dławików. Przedstawione zależności przybierają jednak bardziej rozbudowaną postać przy analizowaniu obwodów z sygnałami o przebiegach zmiennych niesinusoidalnych, które wymagają m.in. zastosowania transformaty Fouriera oraz szeregu Fouriera.

Prawo Ohma – postać konduktancyjna i admitancyjna

Zależności (2.1) i (4.4) przedstawiają najpowszechniej wykorzystywane postacie prawa Ohma. Można powiedzieć, że wartość rezystancji np. rezystora, opisuje jak bardzo ten rezystor ,,utrudnia” przepływ prądu pod wpływem zadanego napięcia. Wielkością odwrotną dla oporu elektrycznego czynnego, tj. rezystancji, jest konduktancja, zwana także przewodnością elektryczną czynną:

G =1/R           (5.1)

gdzie:

G – konduktancja [S];

R – rezystancja [Ω].

W opisie parametrów obwodów prądu zmiennego, również używane są wielkości odwrotne względem impedancji i reaktancji. Odwrotnością oporu elektrycznego pozornego, tj. impedancji (4.1), jest wówczas przewodność elektryczna pozorna, tj. admitancja, która jest również wielkością zespoloną:

Y=1/Z       (5.2)

zaś odwrotnością reaktancji (4.2) jest przewodność elektryczna bierna, tj. susceptancja:

B = – (1/X)       (5.3)

Kompletując zależności (5.1) i (5.3) otrzymujemy sumę składową rzeczywistej – konduktancji oraz składowej urojonej – reaktancji, czyli admitancję:

Y = G + jB           (5.4)

gdzie:

Y – admitancja [S];

G – konduktancja [S];

B – susceptancja [S];

j – jednostka urojona: j²= -1

Zarówno jednostką konduktancji, susceptancji jak i admitancji, jest 1S (Simens) – nazwa jednostki pochodzi od Ernsta Wernera von Siemensa – niemieckiego inżyniera elektryka. 

Praktyczne wykorzystanie prawa Ohma

W życiu codziennym, wiele otaczających nas urządzeń elektrycznych i elektronicznych wykorzystuje prawo Ohma nie tylko jako swoją fundamentalną zasadę działania jako odbiornik lub źródło energii elektrycznej, ale także je wykorzystuje w sposób funkcjonalny. Pośród wielu zastosowań praktycznych prawa Ohma, warto wymienić m.in.:

• Ręczne sterowanie prędkością obrotową silnika elektrycznego napędzającego wentylator – obracając potencjometrem, wpływamy na ograniczenie prądu pobieranego przez silnik, co z zewnątrz objawia się wzrostem bądź spadkiem prędkości obrotowej śmigła wentylatora. W dobie szybkiego rozwoju energoelektroniki oraz układów elektromaszynowych, coraz częściej spotykane są rozwiązania wykorzystujące przyrządy półprzewodnikowe w układach regulacji prędkości obrotowej;
• Uzyskanie różnych napięć zasilania dla układów elektronicznych, np. w układach elektroakustycznych – w celu uzyskania tzw. masy pozornej, tj. napięcia symetrycznego przy zasilaniu napięciem pojedynczym dla wzmacniaczy operacyjnych, do źródła zasilania napięciem o przykładowej wartości 9,0V, należy podłączyć dzielnik rezystorowy, który umożliwi uzyskanie napięcia 4,5V;
• Wykonując pomiary rezystancji i reaktancji elementów i układów elektrycznych, prawo Ohma jest fundamentem działania przyrządów pomiarowych – kiedy wykonujemy bezpośredni pomiar rezystancji rezystora za pomocą multimetru cyfrowego, następuje podanie na rezystor napięcia testowego o wartości np. 1V, które wymusza przepływ prąd. Wewnętrzny algorytm odczytuje (poczynając od próbkowania) natężenie prądu płynącego przez rezystor i mnoży przez wartość napięcia pomiarowego. Obliczony wynik jest przedstawiany na wyświetlaczu multimetru;
• W tzw. metodzie technicznej pomiaru rezystancji, gdzie pomiar rezystancji jest wykonywany pośrednio za pomocą woltomierza i amperomierza, należy dodatkowo uwzględnić rezystancję wewnętrzną przyrządów pomiarowych oraz prawidłowo je podłączyć w celu wykonania poprawnego pomiaru napięcia i prądu, z uwzględnieniem czy mierzymy parametry dla odbiornika czy dla generatora napięcia pomiarowego.

Kiedy prawo Ohma się nie sprawdza?

Choć prawo Ohma jest powszechnym narzędziem w szeroko rozumianej elektrotechnice, to jest ono niestety obarczone pewnymi ograniczeniami, które powodują, że nie sprawdza się ono tak dobrze jak w obwodach z elementami i liniowych charakterystykach prądowo-napięciowych w stanach ustalonych. Przede wszystkim, największym problemem są obwody, w których zachodzi przesyłanie sygnałów elektrycznych w jednym kierunku przy zastosowaniu elementów półprzewodnikowych, takich jak  diody i tranzystory, których największą bolączką są nieliniowe charakterystyki z uwagi na obecność niezerowej wartości progowej napięcia na złączu półprzewodnika, po której przekroczeniu element zaczyna przewodzić – w półprzewodnikach krzemowych zwykle jest to ok. 0,7V, natomiast w półprzewodnikach germanowych przewodzenie zaczyna się po przekroczeniu napięcia ok. 0,2V. Wówczas jest to określane jako nieliniowość elementów. Podobny problem występuje również przy badaniu rezystancji łuku elektrycznego, którego parametry są określane przez rozbudowane warunki brzegowe uwzględniającego dodatkowo takie czynniki jak temperatura, ciśnienie, rozkład natężenia pola elektrycznego oraz przebiegi czasowe prądu i napięcia łuku, a także rodzaj zawartość harmonicznych w przebiegach czasowych opisujących łuk.

Prawa Kirchhoffa – wszechstronne narzędzie do rozwiązywania nawet najbardziej rozbudowanych obwodów elektrycznych

Poza prawem Ohma, cennym narzędziem w rozwiązywaniu obwodów elektrycznych są prawa, których zastosowanie bierze pod uwagę topologię obwodu, czyli jego układ połączeń. Obok Georga Simona Ohma, na polu elektrotechniki teoretycznej kluczową rolę odegrał również inny niemiecki fizyk – Robert Gustav Kirchhoff, który w 1845 roku opracował prawa opisujące prąd i napięcie w obwodach elektrycznych o dowolnym stopniu rozbudowania, które współcześnie znane są jako prądowe prawo Kirchhoffa (oznaczane skrótem polskim PPK lub KCL – z ang. Kirchhoff Current Law) oraz napięciowe prawo Kirchhoffa (oznaczane polskim skrótem NPK lub KVL – z ang. Kirchhoff Voltage Law). Przyjrzyjmy się, jakich pojęć używa się do określenia struktury graficznej obwodów elektrycznych oraz jakie jest pochodzenie praw Kirchhoffa oraz jakie jest ich sens fizyczny.

Podstawowe definicje elementów tworzących strukturę graficzną obwodu elektrycznego

Żeby sprawnie poruszać się w rozwiązywaniu obwodów elektrycznych w stanach przejściowych i ustalonych metodami analitycznymi, jak i numerycznymi z użyciem zarówno prawa Ohma, jak i praw Kirchhoffa, niezbędna jest znajomość następujących pojęć wraz z  ich znaczeniem. Należą do nich:

• Obwód – zamknięta, metaliczna droga umożliwiająca przepływ prądu elektrycznego;
• Ścieżka – pojedyncza linia łącząca elementy obwodu;
• Węzeł – połączenie co najmniej trzech gałęzi obwodu;
• Gałąź – stanowią ją pojedyncze elementy bądź co najmniej dwa elementy połączone węzłem;
• Oczko – otwarta pojedyncza część obwodu, mogąca zawierać elementy tworzące obwód.

Prądowe prawo Kirchhoffa

Prądowe prawo Kirchhoffa, znane też jako “pierwsze prawo Kirchhoffa” mówi, że algebraiczna suma prądów wpływających do węzła i wypływających z niego, jest równa zeru o czym informuje wzór (9.1). W analizie stanów przejściowych w obwodach elektrycznych z wykorzystaniem równań różniczkowych z warunkami początkowymi, prawo to jest także używane w analogicznej formie, z tym że dotyczy ono zasady zachowania ciągłości ładunku elektrycznego w węźle w skończenie krótkim czasie przed wystąpieniem stanu przejściowego w obwodzie wskutek zmiany struktury grafu obwodu lub jego parametrów oraz po wystąpieniu stanu przejściowego. 

(9.1)

gdzie:

i – i-ty z prądów wpływających do węzła;

k – k-ty z prądów wpływających do węzła.

 

Napięciowe prawo Kirchhoffa

Napięciowe prawo Kirchhoffa, znane też jako “drugie prawo Kirchhoffa” mówi, że algebraiczna suma spadków napięć na elementach oczka obwodu, jest równa sumie sił elektromotorycznych tego obwodu, o czym informuje wzór (10.1). W innej wersji uwzględniającej źródła napięć w obwodzie, napięciowe prawo Kirchhoffa głosi, że suma spadków napięć na elementach obwodu i sił elektromotorycznych źródeł w tym obwodzie jest równa zeru, zgodnie ze wzorem (10.2)  W analizie stanów przejściowych w obwodach elektrycznych z wykorzystaniem równań różniczkowych z warunkami początkowymi, prawo to jest także używane w analogicznej formie, z tym że dotyczy ono zasady zachowania ciągłości strumienia magnetycznego w oczku w skończenie krótkim czasie przed wystąpieniem stanu przejściowego w obwodzie wskutek zmiany struktury grafu obwodu lub jego parametrów oraz po wystąpieniu stanu przejściowego.  

(10.1)

gdzie:

i – i-ty ze spadków napięć w oczku obwodu;
k – j-ty ze spadków napięć w oczku obwodu.

(10.2)

gdzie:

h – h-ta z sił elektromotorycznych w oczku obwodu;
j – j-ta z sił elektromotorycznych w oczku obwodu;
i – i-ty ze spadków napięć w oczku obwodu;
k – j-ty ze spadków napięć w oczku obwodu.